Велко Кънев е роден в Елхово през 1948 г. Завършва актьорско майсторство във Витиз през 1973 г. в класа на доц. Апостол Карамитев. От 1973 до 1976 г. играе в Драматичен театър "Стефан Киров" Сливен след което играе в Сатиричен театър "Алеко Константинов" в продължение на три сезона (1976-1979). От 1979 г. е член на трупата на Народен театър "Иван Вазов"

Велко Кънев е изиграл над 40 роли в театъра. За ролята си на Кръстьо Никифоров от пиесата "Великденско вино" на Константин Илиев получава „Аскеер за водеща мъжка роля през 1994 г. През 2007 г. за "Даскал" от Жар- Пиер Допан печели втора награда на Международния фестивал на моноспектаклите „Монокъл“ в Санкт Петербург. През 2008 е поканен в комедийното телевизионно предаване Царете на комедията. На 2 октомври същата година е удостоен с орден "Св.Св. Кирил и Методий" първа степен, за заслуги в областта на културата и изкуството. На същата дата Велко Кънев отпразнува своята 60-годишнина на сцената на Народния театър с премиерата на моноспектакъла "Дванадесет разгневени монолога". От 2010 г. е „Почетен гражданин на Сливен“.

Участва с главни роли във филмите "Оркестър без име", "Бой последен", "Матриархат", "Мъжки времена"  и др. Особено популярен става в специално написания за него и останалите главни герои филм на Станислав Стратиев „Оркестър без име“.

Заедно с Георги Мамалев и Павел Папандов създават и групата НЛО, която е един от изразителните сатирици на социализма. Издават няколко плочи, които се ползват с голям успех. Проектът им по-късно прераства в телевизионното предаване клуб НЛО..
През 2008г. поставя постановката "Благородният Испанец" на ТФ "Мелпомена"

Велко Кънев почина на 11 декември 2011 година в София, на 63-годишна възраст.